Απόδειξη του μοντέλου BLACK-SCHOLES-MERTON για την τιμολόγηση των Οptions

Αν η τιμή της μετοχής στην spot αγορά είναι S (με το Ε(S) εννοούμε την αναμενόμενη τιμή) και ακολουθεί λογαριθμική κανονική κατανομή, ενώ η τυπική απόκλιση της lnS είναι σ, σύμφωνα με το μοντέλο ισχύει:


Όπου

Απόδειξη

Αν f(S) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της S, τότε θα ισχύει:

(1)

Αφού η S ακολουθεί λογαριθμική κανονική κατανομή τότε συνεπάγεται πως η lnS θα ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ. Από τις ιδιότητες της λογαριθμικής κανονικής κατανομής ισχύει πως ο μέσος μ θα είναι:


Για να μετατρέψουμε την κανονική κατανομή που ακολουθεί η lnS σε τυπική κανονική κατανομή, ορίζουμε:
Ισχύει q≈N(0,1)

H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της q θα είναι επομένως:


Αντικαθιστώντας στην (1), έχουμε:


Όπου

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε:

(2)


Ισχύει:


Άρα η (2) γίνεται:

(3)


Αν θεωρήσουμε Ν(q)=P(q


ή
Αντικαθιστώντας το μ με έχουμε

Ομοίως βρίσκεται και το N(d2).

Άρα η (3) γίνεται:

και αντικαθιστώντας ξανά το μ, έχουμε:


Το πιο σημαντικό σημείου του μοντέλου είναι η αντικατάσταση του μ, καθώς είναι δύσκολο να το υπολογίσουμε ακόμη και με πληροφόρηση λίγων ετών. Για μεγάλες περιόδους το μ αλλάζει σημαντικά στη διάρκεια του χρονικού διαστήματος.



Διαγραμματικά αν θέλουμε να αναπαραστήσουμε τη διαδικασία που ακολουθήσαμε , θα είναι:

f(S)

f(lnS)

h(q)